La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar
objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo
y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas,
campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección
de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica
en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo
y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación
de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que
se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien
definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece
o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números
dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.
Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto
bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas
obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros
o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto;
a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados
por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se
denomina forma tabular, extensión
o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen
los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no
repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,...
por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo Î
indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto.
Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto
de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada /
quedando el símbolo como Ï
.
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î
B y c Ï
B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto
de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B
es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì
A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë
.
Note que Î
se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì
solo para conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia
recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema
que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S
(espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números
naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
- Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
- Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
- Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
- Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
- Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos,
la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración
es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen
pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación
llamada comprehensión.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales
menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene
una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores
que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del
álgebra de conjuntos:
{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece
a los números naturales (N) y además que los valores
de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos
pueden ser representados por medio de una expresión algebraica;
supongamos que se desea expresar los números enteros (Z)
entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:
{ x/x Î Z ; -20 £
x £ 30 }
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la
pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo
L={ 1, 3, 4, 6, 9 }
P={ x/x Î N ; X Ï L }
P={ x/x Î N ; X Ï L }
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto
pertenecen a los números naturales y además x no pertenece
al conjunto L.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È
B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a
uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î
A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12
}
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto
se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç
B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î
A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están
en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v,
y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío
ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ
.
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç
B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra
que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará
conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto
vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos,
es decir:
Si A Ç B = Æ
entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto
de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que
se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï
A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B
y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa
por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï
B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del
conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A
el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés
John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos
de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo,
ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra
como:
Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo,
los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas
respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color
azul por ejemplo:
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